Álgebra lineal Ejemplos

$x + y + z = - 7$ , $2 x + 4 y + 2 z = - 16$ , $- x - 9 y - 3 z = 7$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 2 & 4 & 2 & - 16 \\ - 1 & - 9 & - 3 & 7 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & - 16 - 2 \cdot - 7 \\ - 1 & - 9 & - 3 & 7 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 \\ - 1 & - 9 & - 3 & 7 \end{array}]$

Paso 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 9 + 1 \cdot 1 & - 3 + 1 \cdot 1 & 7 - 7 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 \\ 0 & - 8 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 0 & - 8 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 8 & - 2 & 0 \end{array}]$

Paso 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 8 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 8 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & - 2 + 8 \cdot 0 & 0 + 8 \cdot - 1 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 2 & - 8 \end{array}]$

Paso 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Paso 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 8 \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 7 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 7 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 11 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 11 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x = - 10$

$y = - 1$

$z = 4$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 10, - 1, 4)$

Paso 5

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 4 \end{array}]$